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Author: Lapeyre Paule <paule.lapeyre@yahoo.fr>
Date: Wed, 22 Feb 2023 12:20:32 -0500
Modifie la partie sur le modèle de sensibilité
Rectifie les conditions aux limites et simplifie les notations.
Réduit le paragraphe sur le problème couplé et précise les notations des
sources.
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@@ -240,9 +240,9 @@ La sensibilité géométrique de la luminance est définie telle que:
s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \partial_{3} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) =
\partial_{\PI} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI)
\end{equation}
-Elle est regardée ici comme une quantité physique à part entière dont la
+Elle est considérée comme une quantité physique à part entière, dont la
phénoménologie est décrite par une équation de transfert radiatif dans le
-domaine et par des contraintes aux frontières (conditions aux limites) pour la
+domaine et par des contraintes aux frontières (conditions aux limites) sur la
sensibilité entrante dans le domaine.
\paragraph{Équation de transport}
@@ -256,107 +256,136 @@ s(\vec{x},\vec{\omega},\PI)$:
\end{equation}
\paragraph{Les conditions aux limites}
-La seule paroi du cube paramétrée par $\PI$ est la paroi du haut, elle sera
-donc la seule source de sensibilité géométrique:
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-s_{droite} = s_{gauche} = s_{devant} = s_{derri\grave{e}re} = s_{bas} = 0 \\
-s_{haut} = s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in S_{haut} ;
-\vec{\omega} \cdot \vec{n}_{haut} > 0
-\end{aligned}
-\end{equation}
-
Dans \citep{papier_sensib} la condition à la limite de la sensibilité
géométrique est donnée en toute généralité puis dans les cas spécifiques des
-parois noires, parois spéculaires et parois diffuses. La paroi du haut étant
-spéculaire la condition à la limite de sensibilité prend la forme suivante
-(voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les développements qui mènent à cette
-expression):
+parois noires, parois spéculaires et parois diffuses. Ici, seule la paroi haute
+du cube paramétrée par $\PI$, elle est donc la seule source de sensibilité
+géométrique. Étant spéculaire, la condition à la limite de sensibilité del a
+paroi du haut prend la forme suivante (voir annexe \ref{ann:cl_sensib} pour les
+développements qui mènent à cette expression):
\begin{equation}
\begin{aligned}
-s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = & - \beta
-\left(\partial_{1,\vec{u}}\rho(\vec{x},-\vec{\omega}) \right)
-L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
-\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0\\
-& + \partial_{1,\vec{\chi}}L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) - \beta
-\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = & - \beta_{\vec{\chi},h} [\partial_{1,\vec{u}_h} \
+\rho(\vec{x},-\vec{\omega})] L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad
+\quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \ ; \ \vec{\omega} \cdot \vec{n}_h > 0\\
+& + \rho(\vec{x],-\vec{\omega})
+\partial_{1,\vec{\chi}}L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)\\
+& - \rho(\vec{x],-\vec{\omega}) \beta_{\vec{\chi},h} \partial_{1,\vec{u}_h}
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)
\end{aligned}
\label{eq:clsensib}
\end{equation}
+avec $\beta_{\vec{\chi},h}$ un coefficient issu de la décomposition de
+$\vec{\chi}$ en deux vecteurs, un orienté par $\vec{\omega}$ et l'autre orienté
+par un vecteur tangent à la paroi du haut : $\vec{u}_h$ (voir annexe
+\ref{ann:proj}). La projection de $\vec{\chi}$ sur $\vec{u}_h$ est de norme
+$\beta_{\vec{\chi},h}$.
\textit{Note}: La dérivée spatiale $\partial_{1,\vec{\gamma}}
f(\vec{x},\vec{\omega}) = \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}_{\vec{x}}
f(\vec{x},\vec{\omega})$ est la dérivée directionnelle dans la direction
$\vec{\gamma}$.
+avec $\vec{\omega}_{spec} = \vec{\omega} - 2 (\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h)
+\vec{n}_h$
+Les conditions aux limites en sensibilité pour toutes les autres
+parois seront nulles:
+\begin{equation}
+s(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = 0 \quad \quad \quad \vec{x} \notin A_h \\
+\end{equation}
-\paragraph{Les sources de sensibilité} Dans ce problème les sources de
-sensibilité sont localisées uniquement sur la paroi du haut et déterminées à
-partir de la condition à la limite. Toutefois, dans l'équation
-\ref{eq:clsensib} la condition à la limite de sensibilité dépend de la
-luminance incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire) mais
-également des dérivées spatiales de la luminance, dans la direction de
-dérivation $\vec{u}$ et dans la direction de dérivation $\vec{\chi}$,
-incidentes à la paroi (dans la direction de transport spéculaire).
+\paragraph{La source de sensibilité} Dans ce problème la source de sensibilité
+est une source de surface, émise par la paroi du haut et donnée par la
+condition à la limite (équation \ref{eq:clsensib}).
+Toutefois, dans l'équation \ref{eq:clsensib} la condition à la limite de
+sensibilité dépend :
+\begin{itemize}
+\item de la luminance incidente à la paroi (dans la direction de transport
+spéculaire),
+\item de la dérivée spatiale de la luminance, dans la direction de dérivation
+$\vec{u}$, incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire),
+\item de la dérivée spatiale de la luminance, dans la direction de dérivation
+$\vec{\chi}$, incidente à la paroi (dans la direction de transport spéculaire).
+\end{itemize}
+(\textbf{TODO :} Reformuler :)
Le source de sensibilité émise par la paroi spéculaire dépend donc de la
luminance et de deux de ses dérivées spatiales. Ces dépendences expriment un
couplage du modèle de sensibilité avec le modèle de transfert radiatif et le
modèle de la dérivée spatiale (voir \citep{papier_sensib} qui considère les
dérivées spatiale et angulaire de la luminance comme des quantités de la
physique, au même titre que la sensibilité géométrique, et qui en décrit les
-modèles). Nous concluons alors que résoudre notre problème de sensibilité
-géométrique revient à résoudre un problème de transport couplé qui dépend à la
-fois des source radiatives (à travers $L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$),
-des sources de dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers
-$\partial_{1,\vec{u}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec})$) et des sources de
-dérivées spatiales dans la direction $\vec{\chi}$ (à travers
-$\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec})$).
+modèles). Résoudre le problème de sensibilité géométrique revient donc à
+résoudre un problème de transport couplé qui va dépendre à la fois des source
+radiatives (à travers $L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$), des sources de
+dérivées spatiales dans la direction $\vec{u}$ (à travers $\partial_{1,\vec{u}}
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$) et des sources de dérivées spatiales dans
+la direction $\vec{\chi}$ (à travers $\partial_{1,\vec{\chi}}
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI)$).
\paragraph{Les sources du problème couplé}
-Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{fig:configuration},
-il n'y a pas d'émission volumique et seule la paroi de droite est émettrice
-(voir la condition à la limite, équation \ref{eq:cl_rad}). Nous devons à
-présent donner les sources des dérivées spatiales. Dans \citep{papier_sensib}
-il est déterminé que les sources de dérivées spatiales peuvent être volumiques,
-surfaciques et linéiques (pour les géométries facétisées - non
-différentiables). Nous n'entrerons pas dans les développements qui explicitent
-comment trouver les sources des dérivées spatiales de cet exemple, nous en
-donnerons seulement le résultat. En quelques mots: les propriétés radiatives du
-milieu sont spatialement homogènes, il n'y aura donc pas de source volumique de
-dérivée spatiale; les propriétés radiatives des surfaces (coefficient de
-réflexion et émission thermique) sont modélisée par des fonctions qui
-s'annulent toutes aux extrémités des faces du parallélépipède, les sources
-linéiques de dérivée spatiale seront donc nulles. Concernant les sources
-surfacique: (TODO milieu transparent)les parois noires et froides (propriétés
-homogènes) ne seront pas sources de dérivées spatiales; seules les parois de
-droites seront des sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont
-données par les conditions aux limites décrites par les équations
-\ref{eq:cl_duL_haut}, \ref{eq:cl_duL_droite}, \ref{eq:cl_dchiL_haut} et
-\ref{eq:cl_dchiL_droite} (TODO notations !).
-
+%Les sources radiatives ont été décrites dans la figure \ref{fig:configuration},
+%il n'y a pas d'émission volumique et seule la paroi de droite est émettrice
+%(voir la condition à la limite, équation \ref{eq:cl_rad}). Nous devons à
+%présent donner les sources des dérivées spatiales. Dans \citep{papier_sensib}
+%il est déterminé que les sources de dérivées spatiales peuvent être volumiques,
+%surfaciques et linéiques (pour les géométries facétisées - non
+%différentiables). Nous n'entrerons pas dans les développements qui explicitent
+%comment trouver les sources des dérivées spatiales de cet exemple, nous en
+%donnerons seulement le résultat. En quelques mots: les propriétés radiatives du
+%milieu sont spatialement homogènes, il n'y aura donc pas de source volumique de
+%dérivée spatiale; les propriétés radiatives des surfaces (coefficient de
+%réflexion et émission thermique) sont modélisée par des fonctions qui
+%s'annulent toutes aux extrémités des faces du parallélépipède, les sources
+%linéiques de dérivée spatiale seront donc nulles. Concernant les sources
+%surfacique: (TODO milieu transparent)les parois noires et froides (propriétés
+%homogènes) ne seront pas sources de dérivées spatiales; seules les parois de
+%droites seront des sources pour les dérivées spatiales et ces sources sont
+%données par les conditions aux limites décrites par les équations
+%\ref{eq:cl_duL_haut}, \ref{eq:cl_duL_droite}, \ref{eq:cl_dchiL_haut} et
+%\ref{eq:cl_dchiL_droite} (TODO notations !).
+
+\textit{Source radiative} La seule source radiative est donnée en section
+\ref{sec:probleme} par l'équation \ref{eq:cl_lum}. Elle correspond à l'émission
+thermique $S_b$ de la paroi de droite, de surface $A_d$.
+
+\textit{Sources de dérivée spatiale} Le modèle de dérivée spatiale, élaboré
+dans \cite{}, peut comprendre des sources volumiques, des sources de surfaces
+et des sources locales situées sur les arrêtes d'une géométrie facétisée. Dans
+notre exemple le modèle de dérivée spatiale se simplifie (voir annexe
+\ref{ann:der_spatiale}) de sorte que les sources soient uniquement des sources
+émises par la surface du haut $A_h$ et la surface de droite $A_d$.
+
+Pour la dérivée spatiale dans la direction $\vec{u}_h$, la source de la paroi
+du haut est donnée par la condition à la limite :
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{u}} L = \beta_u \left( \partial_{1,\vec{u}_s}
-\rho(\vec{x},-\vec{\omega})\right) L_{spec} \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
-\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\partial_{1,\vec{u}_h} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{u}_h,h} [
+\partial_{1,\vec{u}_s} \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) ]
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \ ; \
+\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h > 0
\label{eq:cl_duL_haut}
\end{equation}
-
+et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite :
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{u}} L = \beta_u \partial_{1,\vec{u}_e} S_b \quad \quad \quad
-\vec{x} \in A_d ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\partial_{1,\vec{u}_h} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{u}_h,d}
+\partial_{1,\vec{u}_{hd}} S_b(\vec{x}) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d \ ;
+\ \vec{\omega} \cdot \vec{n}_d > 0
\label{eq:cl_duL_droite}
\end{equation}
+Pour la dérivée spatiale dans la direction $\vec{\chi}$, la source de la paroi
+du haut est donnée par la condition à la limite :
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{\chi}} L = \beta_{\chi} \left( \partial_{1,\vec{u}_{cs}}
-\rho(\vec{x},-\vec{\omega})\right) L_{spec} \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h ;
-\vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{\chi},h} [
+\partial_{1,\vec{u}_h} \rho(\vec{x},-\vec{\omega}) ]
+L(\vec{x},\vec{\omega}_{spec},\PI) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_h \ ; \
+\vec{\omega} \cdot \vec{n}_h > 0
\label{eq:cl_dchiL_haut}
\end{equation}
-
+et la source de la paroi de droite est donnée par la condition à la limite :
\begin{equation}
-\partial_{1,\vec{\chi}} L = \beta_{\chi} \partial_{1,\vec{u}_{ce}} S_b \quad \quad \quad
-\vec{x} \in A_d ; \vec{\omega} \cdot \vec{n} > 0
+\partial_{1,\vec{\chi}} L(\vec{x},\vec{\omega},\PI) = \beta_{\vec{\chi},d}
+\partial_{1,\vec{u}_{\chi,d}} S_b(\vec{x}) \quad \quad \quad \vec{x} \in A_d \
+; \ \vec{\omega} \cdot \vec{n}_d > 0
\label{eq:cl_dchiL_droite}
\end{equation}
